Kontinuitätsgleichung

Unter dem Begriff Kontinuitätsgleichung versteht man in der Gießereitechnik die Bilanzgleichung für ein Volumen im Falle einer stationären Rohrströmung (z.B. die in einen Einguss strömende Schmelze).

Die Volumenstromstärke in einem Rohr mit veränderlichem Durchmesser (Bild 1) ist bei Durchströmung mit einem inkompressiblen Fluid (Wasser, flüssiges Metall) konstant. Verringert sich der Durchmesser, so muss sich die Fließgeschwindigkeit erhöhen, ebenso im umgekehrten Fall. Es gilt daher die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Flüssigkeiten nach Glg.1:

Glg. 1: I_V_1 = I_V_2 ightarrow A_1 cdot v_1 = A_2 cdot v_2

Im Falle eines Gases werden an statt der Volumina die Massen bilanziert. Weil das Rohr infolge der Kompression des Gases nun eine Kapazität bezüglich der Größe Masse besitzt, gilt die Kontinuitätsgleichung nun nur noch für stationäre Strömungen nach Glg. 2:

Glg. 2: I_m_1 = I_m_2 ightarrow ho_1 cdot A_1 cdot v_1 = ho_2 cdot A_2 cdot v_2

Herleitung der Kontinuitätsgleichung

Die Kontinuitätsgleichung beruht auf dem Grundprinzip der Massenerhaltung. Sie formuliert jene Bedingungen, unter denen die Masse einer strömenden Flüssigkeit oder eines Gases in einem bestimmten Volumen konstant bleibt. Zur Berechnung der Änderung der Geschwindigkeit von Flüssigkeitsteilchen, die einen veränderten Querschnitt passieren, wird daher von der Annahme ausgegangen, dass die Strömung laminar und die Kompressibilität null sind.

Betrachtet wir nach Bild 2 nun eine Flüssigkeit, die durch ein Rohr fließt, das sich verengt. Für ein Volumenelement dV dieser Flüssigkeit gilt nach Glg. 3:

Glg. 3: dV = A_1 cdot ds_1 = A_2 cdot ds_2

Die in diesem Volumenelement befindliche Masse dM ist dann mit konstanter Dichte ρ (Glg. 4):

Glg. 4: dM = ho cdot dV

Dann strömt nach Glg. 5 durch die Fläche A1 in der Zeit dt die Masse:

Glg. 5: frac{dM}{dt} = ho cdot dV cdot frac{1}{dt}

Mit dV1 = A1 · ds1 folgt Glg. 6:

Glg. 6: frac{dM}{dt} = ho cdot A_1 cdot frac{ds_1}{dt}
Die Massenerhaltung besagt, dass dieselbe Masse pro Zeit auch durch die geringere Querschnittsfläche A2 fließen muss, es gilt daher Glg. 7:

Glg. 7: ho cdot A_1 cdot frac{ds_1}{dt} = ho cdot A_2 cdot frac{ds_2}{dt}

Unter der Voraussetzung, dass die Dichte konstant ist, d.h. die Kompressibilität κ = 0 und mit vi = ds1/dt ergibt sich die Kontinuitätsgleichung in der bekannten Form:

Glg. 8:
A_1 cdot v_1 = A_2 cdot v_2 bzw. frac{A_1}{A_2} = frac{v_2}{v_1}
Das Verhältnis von Querschnittsfläche und der Geschwindigkeiten ist also umgekehrt proportional.

Die Ursache der Geschwindigkeitserhöhung ist eine Druckdifferenz Δp = p2 - p1.

Weiterführende Stichworte:
Anschnittsystem
Gießweise
Nominal-Volumenstrom

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